mmc e mdc de uma lista de números
Escreva dois ou mais inteiros positivos. A decomposição em fatores primos aparece passo a passo.
- 12 =2² × 3
- 18 =2 × 3²
- 30 =2 × 3 × 5
- mdc: primos comuns, menores expoentes2 × 3
- mmc: todos os primos, maiores expoentes2² × 3² × 5
- mdc6
- mmc180
Como calcular o mmc e o mdc
O método mais seguro é decompor cada número em fatores primos. O mdc usa apenas os primos que aparecem em todos os números, com o menor expoente. O mmc usa todos os primos que aparecem em algum número, com o maior expoente.
O mmc e o mdc surgem na adição de frações (denominador comum) e na simplificação. Veja a calculadora de frações, que usa os dois.
Exemplos resolvidos
| Números | Decomposição | mdc | mmc |
|---|---|---|---|
| 12 e 18 | 2² × 3 e 2 × 3² | 6 | 36 |
| 12, 18 e 30 | 2² × 3, 2 × 3², 2 × 3 × 5 | 6 | 180 |
| 8 e 15 | 2³ e 3 × 5 | 1 | 120 |
| 24 e 36 | 2³ × 3 e 2² × 3² | 12 | 72 |
| 7 e 14 | 7 e 2 × 7 | 7 | 14 |
Em 8 e 15, nenhum primo se repete, pelo que o mdc é 1 (números primos entre si) e o mmc é o próprio produto, 8 × 15 = 120.
Quando usar o mmc e o mdc
- mmc: quando os acontecimentos se repetem em ciclos. Dois autocarros que partem a cada 12 e a cada 18 minutos voltam a sair juntos de 36 em 36 minutos.
- mmc: denominador comum para somar ou subtrair frações.
- mdc: repartir em grupos iguais sem sobras. Com 12 raparigas e 18 rapazes, o maior número de grupos iguais é 6.
- mdc: simplificar frações. 18/24 divide-se por 6 e passa a 3/4.
- mdc: ladrilhar um chão com mosaicos quadrados do maior lado possível. Numa divisão de 360 cm por 240 cm, o lado máximo é 120 cm.
Para proporções entre grandezas, a regra de três é o caminho. Para contas gerais, a calculadora científica.
Perguntas frequentes
Como calcular o mmc de dois números?
Decompõem-se os números em fatores primos e multiplicam-se todos os primos com o maior expoente. Para 12 (2² × 3) e 18 (2 × 3²), o mmc é 2² × 3² = 36.
Como calcular o mdc de dois números?
Decompõem-se os números e multiplicam-se só os primos comuns, com o menor expoente. Para 12 e 18, o mdc é 2 × 3 = 6. Outro método é o algoritmo de Euclides, com divisões sucessivas.
Qual a diferença entre mmc e mdc?
O mmc é o menor múltiplo comum e é sempre maior ou igual ao maior dos números. O mdc é o maior divisor comum e é sempre menor ou igual ao menor dos números. Para 12 e 18, são 36 e 6.
Como calcular o mmc e o mdc de três ou mais números?
O método é o mesmo: decompõem-se todos os números. O mdc usa os primos presentes em todos, e o mmc usa todos os primos. Para 12, 18 e 30, o mdc é 6 e o mmc é 180.
Quando é que o mdc é 1?
O mdc é 1 quando os números não têm nenhum primo em comum, a que se chama primos entre si. É o caso de 8 e 15, e nessa situação o mmc é o produto dos números: 120.
Para que servem o mmc e o mdc?
O mmc serve para descobrir quando os ciclos se repetem e para somar frações. O mdc serve para repartir em grupos iguais e simplificar frações, como 18/24 em 3/4.
Fontes e método
- Aritmética elementar: decomposição em fatores primos, mmc e mdc